Day 8 DH演算法交換密鑰

15th鐵人賽

廖紳勛

2023-09-22 09:33:25

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在進行對稱加密時，一個很大的困難就是如何秘密地分享對稱密鑰

今天要來介紹的主題就是探討這個問題

Diffie-Hellman演算法

Diffie-Hellman演算法(DH)，是讓兩端用戶互相安全地交換密鑰的方法

用到的是取log很困難這件事來做設計

離散對數

給定正數g和x，想要計算怎樣的k，可以滿足 $g^k = x$
我們可以藉由計算 $log_g(x)$ 得到

在離散的版本，g和x都是比p(質數)小的正整數，我們想問怎樣的k可以滿足 $g^k = x\;mod\;p$

因為兩者形式很相近，因此又稱為離散對數問題

離散對數與質因數分解一樣都是NP問題(之後會再詳細介紹)
兩者都是出了名的困難，至今為止無法找到多項式時間可以完成的演算法

有幾件事必須先說明：

由於p故意選質數，根據某些有趣的性質， $g^1, g^2, \dots, g^p \;mod\;p$ 每個數字除以p的餘數都會不一樣
因此k一定能在1~p之間被找到

我一開始看到這邊會有些疑惑，畢竟最多只要嘗試p次就可以找到k，為什麼會說這個問題很困難呢？

要注意這邊的多項式時間是以p的位元做計算，舉例來說p若以b位元表示(可以是 $2^{b}$ 以下的質數，用0和1表示) 那麼以上從k=1慢慢找，找到 $k=2^b$ 會是以b的指數作增長

也就是說我只要再多一個位元表示p，所需花的努力就是2倍
要是以足夠多的位元表示足夠大的p，那麼用一個一個慢慢找的方式來解k幾乎是不可能的

密鑰交換

p會選擇一個質數並公開
g選擇一個比p小的正整數也公開

實際密鑰交換的情況如下：

Alice隨機地選擇一個數字a，Bob隨機地選擇一個數字b
Alice計算 $g^a\;mod\;p$ 傳送給Bob；Bob計算 $g^b\;mod\;p$ 傳送給Alice
Alice將Bob送過來的 $g^b$ 取a次方，得到 $g^{ab}\;mod\;p$ ；Bob將Alice送過來的 $g^a$ 取b次方，得到 $g^{ab}\;mod\;p$
$g^{ab}\;mod\;p$ 即為兩人約定好的密鑰

從中攔截的Trudy只能看到 $g^a\;mod\;p$ 與 $g^b\;mod\;p$ ，想要得到 $g^{ab}\;mod\;p$ 勢必得解出a或b才行
由於解a, b需要取離散對數，Trudy無法從中提取任何密鑰的資訊

例子

取p=5231，Alice隨機生成a=4579, Bob隨機生成b=3558
兩人共同協議取g=2178

Alice計算 $g^a = 2178^{4579} = 4162\;mod\;5231$ 傳送給Bob
Bob計算 $g^b = 2178^{3558} = 4614\;mod\;5231$ 傳送給Alice
從Alice那端攔截到4162的Trudy必須解很難的離散對數才能得出4579；從Bob那端攔截到4614的Trudy必須解很難的離散對數才能得出3558

Alice收到4614後，取a次方可得 $(g^b)^a = 4614^{4579} = 458\;mod\;5231$ ； Bob收到4162後取b次方可得 $(g^a)^b = 4162^{3558} = \;458\;mod5231$
458即為兩人分享的密鑰

其python計算如下:

import numpy as np

p = 5231
g = 2178
np.random.seed(12345)
a = np.random.randint(1, p)
b = np.random.randint(1, p)


ga = pow(g, a, p)
gb = pow(g, b, p)

print(ga)
print(gb)


gab_Alice = pow(gb, a, p)
gab_Bob   = pow(ga, b, p)

print(gab_Alice)
print(gab_Bob)